解方程式 (x + 1)² + (x − 1)² = (x + 1)² + (1 − x)²。

Step-by-step solution

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   先別急著展開，找一找兩邊相同的部分。 $(x+1)^2$ 在等號兩邊都出現，可以立刻消掉。剩下的問題簡單得多：$(x-1)^2=(1-x)^2$ 成立嗎？

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   用「互為相反數的兩個數平方相同」這一點。 $1-x=-(x-1)$，而平方會把負號吃掉：$(1-x)^2=\left(-(x-1)\right)^2=(-1)^2(x-1)^2=(x-1)^2$。所以剩下的兩項對每一個 $x$ 都相等。

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   展開來再確認一次。 $(x-1)^2=x^2-2x+1$，$(1-x)^2=1-2x+x^2$；逐項對照完全一致，這就是同一個結論的代數版本。

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   得出「它是恆等式」的結論。 消完之後方程式變成 $0=0$ —— 一個不含未知數、而且恰好為真的陳述。這正是恆等式的標誌：它對未知數的每一個值都成立。

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   寫出解集。 由於沒有任何 $x$ 被排除在外 —— 式子裡既沒有分母，也沒有根號來限制定義域 —— 解集就是全體實數，也就是 $x\in\mathbb{R}$。

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   代兩個數驗一驗。 取 $x=3$，兩邊都等於 $16+4=20$；取 $x=-7$，兩邊都等於 $36+64=100$。在隨手挑的測試點上兩邊都相等，這符合恆等式的特徵，而不像只有零星幾個根的普通方程式。