解方程式 |−6 + 4x| = |10 + x|。

Step-by-step solution

1. 1

   先把每個絕對值整理乾淨。 把絕對值裡面的項換順序毫無影響，因為 $|-6+4x| = |4x-6|$、$|10+x| = |x+10|$。方程式因而成為

   $|4x - 6| = |x + 10|$

   這個形式讓兩個一次式好比較。

2. 2

   用「兩個絕對值相等」的規則。 兩邊平方得 $A^2 = B^2$，也就是 $(A-B)(A+B) = 0$。所以 $|A| = |B|$ 等價於恰好兩種一次的可能：

   $A = B \quad \text{或} \quad A = -B$

   這就是為什麼本題只要討論兩種情形，而不是把兩邊的絕對值各自拆開會得到的四種。

3. 3

   情形 1：兩邊裡面相等。

   $4x - 6 = x + 10$

   $3x = 16 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{16}{3}$

4. 4

   情形 2：兩邊裡面互為相反數。

   $4x - 6 = -(x + 10) = -x - 10$

   $5x = -4 \quad \Longrightarrow \quad x = -\frac{4}{5}$

5. 5

   把兩個候選解代回原式檢查。 平方可能引進增根，所以代入這一步不能省。當 $x = \tfrac{16}{3}$：

   $\left|-6 + \tfrac{64}{3}\right| = \tfrac{46}{3}, \qquad \left|10 + \tfrac{16}{3}\right| = \tfrac{46}{3}$

   當 $x = -\tfrac45$：

   $\left|-6 - \tfrac{16}{5}\right| = \tfrac{46}{5}, \qquad \left|10 - \tfrac45\right| = \tfrac{46}{5}$

   兩邊都吻合，所以兩個根都不是增根。

6. 6

   寫出解集合。 有兩個相異的值滿足方程式：

   $x = \frac{16}{3} \quad \text{或} \quad x = -\frac{4}{5}$

   從幾何上看，它們就是 V 形圖形 $y = |4x-6|$ 與 $y = |x+10|$ 相交的兩個點。