解 2πRk sin α − 2πak = mg tan α / (2π)，求 k。

Step-by-step solution

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   注意到 $k$ 在左邊兩項裡都出現。 兩邊都不需要展開，整題就是一次因式分解。左邊兩項都含有公因式 $2\pi k$： $2\pi Rk\sin\alpha-2\pi ak=2\pi k\left(R\sin\alpha-a\right).$ 把 $k$ 收進單一個因式，才有辦法靠一次除法把它孤立出來。

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   把 $k$ 收攏後重寫方程式。 $2\pi k\left(R\sin\alpha-a\right)=\frac{mg\tan\alpha}{2\pi}$ 現在所有乘上 $k$ 的東西都待在同一個括號裡，其餘全在右邊。

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   兩邊同除以 $k$ 的整個係數。 兩邊同除以 $2\pi\left(R\sin\alpha-a\right)$ 得 $k=\frac{\dfrac{mg\tan\alpha}{2\pi}}{2\pi\left(R\sin\alpha-a\right)}.$ 注意右邊分母裡原本就有的 $2\pi$ 並不會跟新來的這個對消——再除一次 $2\pi$ 是把兩個分母相乘起來。

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   化簡這個繁分數。 把兩個分母相乘， $k=\frac{mg\tan\alpha}{4\pi^{2}\left(R\sin\alpha-a\right)}.$ 這個 $4\pi^{2}$ 是最多人寫錯的地方，常被誤寫成 $2\pi$ 或 $2\pi^{2}$。

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   寫出限制條件。 這個除法只有在 $R\sin\alpha-a\neq 0,$ 也就是 $\sin\alpha\neq a/R$ 時才成立。若 $R\sin\alpha=a$，左邊恆等於零，於是方程式對 $k$ 無解——除非 $mg\tan\alpha$ 同時也是零，那時任何 $k$ 都成立。

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   代入數字驗算這次移項。 取 $R=2$、$a=0.5$、$\alpha=30^\circ$、$m=1$、$g=9.8$。公式給出 $k=\frac{9.8\times 0.577350269}{4\pi^{2}(2\times 0.5-0.5)}=0.286639282.$ 代回原式左邊：$2\pi(2)(0.286639282)(0.5)-2\pi(0.5)(0.286639282)=0.900503863$，而右邊是 $\dfrac{9.8\times 0.577350269}{2\pi}=0.900503863$。兩者一致，代數變形無誤。