某位學生用除法表格計算 x³ - 2x² - 10x + 21 除以 x² + x - 7。商的第一項是 x，第二項標記為 A，求 A 的值。

Step-by-step solution

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   先弄清楚除法表格裡的一格代表什麼。 除法表格其實就是把長除法重新排成格子：每一個商項的選法，是讓它乘上除式的最高次項後，剛好還原目前被除式剩下部分的最高次項。所以 $A$ 一點也不神祕——它就是商的第二項。

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   先把第一項推回來，確認格式沒錯。 用被除式的最高次項除以除式的最高次項：

   $\frac{x^3}{x^2} = x$

   這與題目給的第一項相符，表示表格確實是照一般由左而右的方式在填。

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   乘回去再相減。 把整個除式乘上剛才的第一項，再從被除式減掉這個乘積——這一步的作用就是消掉 $x^3$ 項：

   $x(x^2 + x - 7) = x^3 + x^2 - 7x$

   $(x^3 - 2x^2 - 10x + 21) - (x^3 + x^2 - 7x) = -3x^2 - 3x + 21$

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   重複「最高次項相除」求出 $A$。 新的被除式最高次項是 $-3x^2$，除式的最高次項仍是 $x^2$：

   $A = \frac{-3x^2}{x^2} = -3$

   它是一個常數而不是 $-3x$，因為兩邊的次數剛好抵消。

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   把表格填完並檢查餘式。 乘回去得 $-3(x^2 + x - 7) = -3x^2 - 3x + 21$，相減後為 $0$，所以是整除：

   $x^3 - 2x^2 - 10x + 21 = (x^2 + x - 7)(x - 3)$

   把右邊展開會逐項還原被除式，這同時驗證了商 $x - 3$ 與 $A = -3$。