用區間形式表示 f(x) = x / (x² − 36 的立方根) 的定義域。

Step-by-step solution

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   先想清楚立方根到底限制了什麼。 奇次方根對每一個實數都有定義 —— $\sqrt[3]{-8} = -2$ 完全合法。所以與平方根不同，$\sqrt[3]{x^2-36}$ 對 $x^2 - 36$ 不提出任何正負號的要求。把它當成平方根、硬要求 $x^2 \ge 36$，是這道題最經典的錯誤。

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   找出分母為零的地方。 真正的限制只有「不能除以零」，而 $\sqrt[3]{A} = 0$ 當且僅當 $A = 0$：

   $x^2 - 36 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 6$

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   把這兩個點排除掉。 從 $\mathbb{R}$ 中去掉 $-6$ 與 $6$，剩下

   $(-\infty,-6) \cup (-6,6) \cup (6,\infty)$

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   在平方根會失效的地方驗一個值。 當 $x = 0$ 時根號內是 $-36$，而 $\sqrt[3]{-36} = -3.301927$，所以 $f(0) = \tfrac{0}{-3.301927} = 0$ —— 有定義。若換成平方根版本的函數，整個 $(-6,6)$ 區間都會被排除掉。

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   再看看排除點附近的走勢。 當 $x \to 6^{-}$ 時 $x^2 - 36 \to 0^{-}$，立方根從下方趨於 $0$，於是 $f(x) \to -\infty$；從右側趨近時則趨於 $+\infty$。兩邊都是貨真價實的鉛直漸近線，可見 $x = \pm6$ 必須排除，而不是能補回去的洞。