設 x、y 為正實數且 x + y = 1，下列哪些正確？A：xy 的最小值是 1/4。B：1/x + 1/y 的最小值是 4。C：x² + y² 的最小值是 1/2。D：√x + √y 的最大值是 2。

Step-by-step solution

1. 1

   先把自由度降成一個。 由 $x+y=1$ 且兩者皆正，可設 $x=t$、$y=1-t$，其中 $0<t<1$。底下每個量都只是 $t$ 的函數；由對稱性，極值通常出現在 $t=\tfrac12$，或落在 $t\to 0^{+}$、$t\to 1^{-}$ 這兩個極限端。

2. 2

   A 錯 —— 1/4 是 xy 的最大值。 由算幾不等式，$xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^{2}=\dfrac14$，等號在 $x=y=\tfrac12$ 時成立。而當 $t\to 0^{+}$ 時 $xy=t(1-t)\to 0$，所以 $xy$ 沒有正的最小值，它的下確界是 $0$。不正確。

3. 3

   B 正確。 由於 $x+y=1$，

   $\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy}$

   而上一步已得 $xy\le\tfrac14$，所以 $\dfrac{1}{xy}\ge 4$，等號在 $x=y=\tfrac12$ 時成立。正確。

4. 4

   C 正確。 利用 $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=1-2xy$ 以及 $xy\le\tfrac14$，

   $x^{2}+y^{2}\ge 1-2\left(\frac14\right)=\frac12$

   等號同樣在 $x=y=\tfrac12$ 時成立。正確。

5. 5

   D 錯 —— 最大值是 √2，不是 2。 兩邊平方，

   $\left(\sqrt x+\sqrt y\right)^{2}=x+y+2\sqrt{xy}=1+2\sqrt{xy}\le 1+2\left(\frac12\right)=2$

   所以 $\sqrt x+\sqrt y\le\sqrt2\approx 1.414$，在 $x=y=\tfrac12$ 處取到。$2$ 這個值永遠碰不到。不正確。

6. 6

   下結論並抽查。

   $\boxed{\text{B 與 C}}$

   取 $x=y=\tfrac12$：$xy=0.25$，$\tfrac1x+\tfrac1y=4$，$x^{2}+y^{2}=0.5$，$\sqrt x+\sqrt y=1.414$。取 $x=0.1$、$y=0.9$：$xy=0.09$，$\tfrac1x+\tfrac1y=11.11>4$，$x^{2}+y^{2}=0.82>0.5$，$\sqrt x+\sqrt y=1.265<1.414$ —— 上面每一項論斷的表現都與所述一致。