化簡並判斷這三個含 S 的算式是否相等：((0.6S − 25 − 150×0.04 − 100×0.04)×0.75 − 30×0.08)/30、((0.6S − 25 − 150×0.04)×0.75 − 30×0.08)/(30 + 100/40)，以及 (0.45S − 25.65)/32.5。

Step-by-step solution

1. 1

   先把共用的數值常數算出來。 $150\cdot 0.04=6$、$100\cdot 0.04=4$、$30\cdot 0.08=2.4$，以及 $100/40=2.5$。在碰 $S$ 之前先把每個乘積化成一個數，三個算式才好互相比較。

2. 2

   化簡第一個算式。 它的括號是 $0.6S-25-6-4=0.6S-35$。接著 $(0.6S-35)(0.75)-2.4=0.45S-26.25-2.4=0.45S-28.65$，再除以 $30$ 得到 $0.015S-0.955=\frac{3S}{200}-\frac{191}{200}$。

3. 3

   化簡第二個算式。 這裡只減掉 $150\cdot 0.04=6$，所以括號是 $0.6S-31$。接著 $(0.6S-31)(0.75)-2.4=0.45S-23.25-2.4=0.45S-25.65$，而分母是 $30+2.5=32.5$，得到 $\frac{0.45S-25.65}{32.5}$。

4. 4

   和第三個算式比較。 第二個算式化到最後恰好就是第三個，$\frac{0.45S-25.65}{32.5}=\frac{9S}{650}-\frac{513}{650}\approx 0.0138462S-0.789231$。所以等式串裡的第二個等號是對的。

5. 5

   把第一個和另外兩個比較。 $\frac{3S}{200}-\frac{191}{200}$ 與 $\frac{9S}{650}-\frac{513}{650}$ 的斜率不同（$0.015$ 對上 $0.0138462$），截距也不同，所以它們不是同一個算式。等式串裡的第一個等號是假的：多減一個 $-100\cdot 0.04$、又把分母從 $30$ 改成 $32.5$，這兩個改動並不能互相補償。

6. 6

   找出它們真正相等的地方。 令 $\frac{3S}{200}-\frac{191}{200}=\frac{9S}{650}-\frac{513}{650}$，兩邊同乘 $13000$ 得到 $195S-12415=180S-10260$，所以 $15S=2155$、$S=\frac{431}{3}\approx 143.67$。兩邊只在這唯一一個值上相等。

7. 7

   在 S = 100 與交點處做數值檢查。 在 $S=100$，第一式給出 $0.015(100)-0.955=0.545$，而第二、三式都給出 $0.0138462(100)-0.789231=0.595385$ —— 如同預期地不同。在 $S=\frac{431}{3}$，兩邊都恰好是 $1.2$，確認了那唯一的交點。