解不等式：以 5 為底 (x - 3 倍根號 x + 32) 的對數，小於 2 倍以 5 為底 (根號 x + 2) 的對數，並求最小的正整數解。

Step-by-step solution

1. 1

   先確定定義域。 根號迫使 $x\ge0$。令 $t=\sqrt{x}\ge0$，第一個真數是 $t^2-3t+32$，判別式為 $9-128=-119<0$；首項係數為正，所以它恆為正。第二個真數 $\sqrt{x}+2\ge2>0$ 也沒問題。因此定義域就是 $x\ge0$，後面不會漏掉任何候選解。

2. 2

   把係數 2 併進對數裡。 用 $k\log_b u=\log_b u^k$：

   $2\log_5(\sqrt{x}+2)=\log_5\left((\sqrt{x}+2)^2\right)$

   現在兩邊都是同底的單一對數，這也是唯一能直接比較真數的形式。

3. 3

   把對數拿掉。 因為底數 $5>1$，$\log_5$ 是遞增函數，所以對數之間的不等式等價於真數之間的同向不等式（方向不變；若底數小於 $1$ 就要反轉）：

   $x-3\sqrt{x}+32 < (\sqrt{x}+2)^2$

4. 4

   展開並相消。 右邊是 $x+4\sqrt{x}+4$，兩邊的 $x$ 相消：

   $-3\sqrt{x}+32 < 4\sqrt{x}+4 \quad\Longrightarrow\quad 28 < 7\sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x}>4$

5. 5

   安全地兩邊平方。 兩邊都是非負數，所以平方不改變不等號方向：

   $x>16$

6. 6

   讀出最小整數。 嚴格大於 $16$ 的最小整數是 $x=17$，而它落在定義域 $x\ge0$ 內。驗算：$17-3\sqrt{17}+32\approx36.63$，而 $(\sqrt{17}+2)^2\approx37.25$，所以在 $x=17$ 不等式確實成立；在 $x=16$ 則不成立（兩邊都等於 $36$）。