化簡 (x + 1)(x + 1)(x + 1)(x + 1) − (x + 3)(x + 3)(x + 3)(x + 3) − 272。

Step-by-step solution

1. 1

   **把重複的乘積寫成四次方。**每一組四個相同的因式就是次方：

   $(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)=(x+1)^4,\qquad (x+3)(x+3)(x+3)(x+3)=(x+3)^4$

2. 2

   **用二項式定理分別展開。**係數是 $1,4,6,4,1$：

   $(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$

   $(x+3)^4=x^4+4(3)x^3+6(9)x^2+4(27)x+81=x^4+12x^3+54x^2+108x+81$

   $3$ 的次方增長很快 —— $3,9,27,81$ —— 那正是算術容易出錯的地方。

3. 3

   逐項相減，把負號分配到整個第二個展開式。

   $x^4-x^4=0,\quad 4x^3-12x^3=-8x^3,\quad 6x^2-54x^2=-48x^2,\quad 4x-108x=-104x$

   兩個首一的四次方相減時，領導的 $x^4$ 項一定會抵消，所以結果的次數降到 $3$。

4. 4

   處理常數，包括 $-272$。

   $1-81-272=-352$

   所以化簡後的式子是

   $-8x^3-48x^2-104x-352$

5. 5

   **提出公因數 $-8$ 並驗算。**每個係數都能被 $8$ 整除：

   $-8\left(x^3+6x^2+13x+44\right)$

   在 $x=0$ 檢查：原式是 $1-81-272=-352$，化簡後的式子給出 $-352\;\checkmark$。在 $x=1$：原式是 $16-256-272=-512$，而 $-8-48-104-352=-512\;\checkmark$。這個三次因式在 $44$ 的因數中找不到有理根，所以整數範圍的因式分解到此為止。