化簡 (x+1)³ − 2(x+1)²(x−1) − (x+1)(x−1)² + 2(x+1)³(x² − 9)/(x + 3)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把分式解決掉。 $x^2-9$ 是平方差：

   $x^2-9=(x-3)(x+3)$

   所以最後一項成為 $\dfrac{2(x+1)^3(x-3)(x+3)}{x+3}=2(x+1)^3(x-3)$，在 $x\neq -3$ 時成立。分母一消失，整個式子就是個多項式了。

2. 2

   提出公因式 $(x+1)$。 四項裡每一項都至少帶一個 $x+1$：

   $(x+1)\Bigl[(x+1)^2-2(x+1)(x-1)-(x-1)^2+2(x+1)^2(x-3)\Bigr]$

   現在就把它提出來，可以讓後面的展開少一個次數。

3. 3

   把中括號裡前三項展開。 用 $(x+1)^2=x^2+2x+1$、$(x+1)(x-1)=x^2-1$、$(x-1)^2=x^2-2x+1$：

   $\left(x^2+2x+1\right)-2\left(x^2-1\right)-\left(x^2-2x+1\right)=-2x^2+4x+2$

   （$x^2$ 項是 $1-2-1=-2$，$x$ 項是 $2+2=4$，常數項是 $1+2-1=2$。）

4. 4

   把第四項展開。

   $2(x+1)^2(x-3)=2\left(x^2+2x+1\right)(x-3)=2\left(x^3-x^2-5x-3\right)=2x^3-2x^2-10x-6$

5. 5

   把中括號裡的兩塊相加。

   $\left(-2x^2+4x+2\right)+\left(2x^3-2x^2-10x-6\right)=2x^3-4x^2-6x-4=2\left(x^3-2x^2-3x-2\right)$

6. 6

   寫出最後的因式分解形式並驗算。

   $2(x+1)\left(x^3-2x^2-3x-2\right)$

   這個三次式沒有有理根（$\pm1,\pm2$ 全都不是），所以在 $\mathbb{Q}$ 上無法再分解。取 $x=2.3$ 做數值檢查：原式與這個形式都等於 $-48.2658$。$\checkmark$