解方程式 |x| + |x − 1| = |x − 2| + |x − 3|。

Step-by-step solution

1. 1

   找出分界點並把數線分段。 每個絕對值都在裡面等於零的地方換公式，也就是 $x=0,1,2,3$。它們把實數線切成五個區間，在每一段上每個絕對值都能以確定的正負號拆開。

2. 2

   先解讀方程式，再計算。 左邊是 $x$ 到 $0$ 與到 $1$ 的距離總和；右邊是到 $2$ 與到 $3$ 的距離總和。既然 $\{2,3\}$ 整個落在 $\{0,1\}$ 的右側，就該預期解會落在中間某處——這樣的讀法也預告了解恰好只有一個。

3. 3

   處理外側的三個區間。 當 $x\le 0$：$(-x)+(1-x)=(2-x)+(3-x)$ 得 $1-2x=5-2x$，矛盾。當 $2\le x\le 3$：$x+(x-1)=(x-2)+(3-x)$ 得 $2x-1=1$，所以 $x=1$，但它不在 $[2,3]$ 裡——剔除。當 $x\ge 3$：$2x-1=2x-5$，又是矛盾。

4. 4

   處理 0 ≤ x ≤ 1 這一段。 此時 $|x|=x$、$|x-1|=1-x$、$|x-2|=2-x$、$|x-3|=3-x$：

   $x+(1-x)=(2-x)+(3-x)\ \Longrightarrow\ 1=5-2x\ \Longrightarrow\ x=2,$

   它落在 $[0,1]$ 之外——剔除。一定要拿候選解回頭檢驗產生它的那個區間；大多數人就是在這裡出錯。

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   處理 1 ≤ x ≤ 2 這一段。 此時 $|x|=x$、$|x-1|=x-1$、$|x-2|=2-x$、$|x-3|=3-x$：

   $x+(x-1)=(2-x)+(3-x)\ \Longrightarrow\ 2x-1=5-2x\ \Longrightarrow\ 4x=6\ \Longrightarrow\ x=\tfrac32,$

   而 $\tfrac32$ 確實落在 $[1,2]$ 裡，所以接受。

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   把解代回原方程式檢查。 當 $x=\tfrac32$：左邊是 $\tfrac32+\tfrac12=2$，右邊是 $\tfrac12+\tfrac32=2$ ✓。所以唯一的解是 $x=\tfrac32$——正好是兩組點的中點，與前面用距離的讀法完全吻合。