解不等式 −4x² + 260x − 200 小於或等於 0。

Step-by-step solution

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   除以負的首項係數，並把不等號反向。 每一項都除以 $-4$，二次式的首項係數就變成一，但因為 $-4<0$，不等號要反向：

   $-4x^2+260x-200\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-65x+50\ge 0$

   這是全題最容易出錯的一步；保留原本開口向下的形式、用「落在 x 軸下方」來推理，也是同樣有效的替代做法。

2. 2

   求出這個首一二次式的根。 取 $a=1$、$b=-65$、$c=50$，

   $\Delta=(-65)^2-4(50)=4225-200=4025$

   而 $4025=25\cdot 161$，所以 $\sqrt{4025}=5\sqrt{161}$（$161=7\cdot 23$ 不含平方因數，已經是最簡）。

3. 3

   寫出精確的兩根。

   $x=\frac{65\pm 5\sqrt{161}}{2}$

   由於 $5\sqrt{161}\approx 63.4429$，兩根約為 $0.7786$ 與 $64.2214$。

4. 4

   用開口方向決定要取哪個區域。 拋物線 $x^2-65x+50$ 開口向上，所以它在兩根之外是 $\ge 0$，在兩根之間嚴格為負：

   $x\le \frac{65-5\sqrt{161}}{2}\qquad\text{或}\qquad x\ge \frac{65+5\sqrt{161}}{2}$

5. 5

   把端點納入，並測試答案。 不等式可以取等號，所以兩個根都屬於解（在那裡原式恰好等於 $0$）。測試：在 $x=0.5$ 原式為 $-71\le 0$ ✓；在 $x=1$ 為 $+56$，不成立，正確地把中間排除掉；在 $x=65$ 為 $-200\le 0$ ✓。