解 3x⁴ + 24x³ + 82x² + 136x + 63 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   設出兩個二次式，把首項的 3 放進其中一個。 因為 $3$ 是質數，整數範圍的分解只可能長成

   $3x^{4}+24x^{3}+82x^{2}+136x+63=\left(3x^{2}+ax+b\right)\left(x^{2}+cx+d\right)$

   且 $bd=63$。展開後得到四個比對條件

   $3c+a=24,\quad 3d+ac+b=82,\quad ad+bc=136,\quad bd=63$

2. 2

   在 63 的因數對裡搜尋。 試 $b=7,\ d=9$，由第一與第三個條件解出 $a=12,\ c=4$；此時第二個條件是 $27+48+7=82$ ✓，第三個是 $108+28=136$ ✓。四個條件同時成立，所以

   $3x^{4}+24x^{3}+82x^{2}+136x+63=\left(3x^{2}+12x+7\right)\left(x^{2}+4x+9\right)$

3. 3

   猜出來的分解一定要先展開回去再用。 這不是多此一舉：看起來很像的猜測 $3\left(x^{2}+6x+3\right)\left(x^{2}+6x+7\right)$ 展開後是 $3x^{4}+36x^{3}+138x^{2}+180x+63$，只有首項與常數項對得上，其實是錯的。會抓到它的正是中間兩個係數。

4. 4

   解第一個二次式。 對 $3x^{2}+12x+7=0$：

   $x=\frac{-12\pm\sqrt{144-84}}{6}=\frac{-12\pm\sqrt{60}}{6}=\frac{-12\pm 2\sqrt{15}}{6}=\frac{-6\pm\sqrt{15}}{3}$

   數值上 $x\approx-0.70901$ 與 $x\approx-3.29099$；因為判別式 $60$ 為正，兩根都是實數。

5. 5

   解第二個二次式。 對 $x^{2}+4x+9=0$，判別式是 $16-36=-20<0$，所以

   $x=\frac{-4\pm\sqrt{-20}}{2}=-2\pm i\sqrt5$

6. 6

   收齊四個根並做數值驗證。

   $x=\frac{-6+\sqrt{15}}{3},\ \frac{-6-\sqrt{15}}{3},\ -2+i\sqrt5,\ -2-i\sqrt5$

   用數值求根程式跑原本的四次式，得到 $-0.70901$、$-3.29099$ 與 $-2\pm 2.23607i$，完全吻合 ✓（$\sqrt5=2.23607$）。