等差數列滿足 u3 + u5 − u6 = 6 且 u8 + u4 = 52。求 S = u2 + u4 + u6 + … + u2020。

Step-by-step solution

1. 1

   先把每個條件都用 $u_1$ 與 $d$ 表示。 由 $u_k=u_1+(k-1)d$： $u_3+u_5-u_6=(u_1+2d)+(u_1+4d)-(u_1+5d)=u_1+d=6$ $u_8+u_4=(u_1+7d)+(u_1+3d)=2u_1+10d=52\ \Longrightarrow\ u_1+5d=26$

2. 2

   解這組二元一次聯立方程式。 第二式減第一式得 $4d=20$，於是 $d=5,\qquad u_1=6-5=1$

3. 3

   刻畫偶數項構成的子數列。 $u_{2k}=1+(2k-1)\cdot 5=10k-4$，它本身就是一個等差數列，首項 $u_2=6$，公差為 $10$。

4. 4

   數一數共有幾項。 下標依序是 $2,4,\dots,2020$，也就是 $k=1$ 到 $k=1010$，所以共 $1010$ 項，末項 $u_{2020}=10(1010)-4=10096$。

5. 5

   套等差級數求和公式。 $S=\frac{1010}{2}\left(u_2+u_{2020}\right)=505\,(6+10096)=505\cdot 10102=5101510$

6. 6

   直接累加確認。 用 Python 把這 $1010$ 項全部加起來同樣得到 $5101510$，所以選 B。