求函數 f(x) = x² − 2x + 9 的定義域，答案用區間表示。

Step-by-step solution

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   先問一句：哪裡可能出問題？ 求定義域其實就是在排查「不合法的運算」，而在一般代數裡只有三種：分母為零、對負數開偶次方根、對非正數取對數。

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   拿式子去對照這份清單。 $f(x)=x^2-2x+9$ 是一個多項式：它只用乘法與加法由 $x$ 搭建而成。既沒有分母，也沒有根號和對數，所以上面三種情況一種都不會發生。

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   於是任何實數都能代入。 代入任意實數 $x$，輸出都是實數 —— 例如 $f(0)=9$、$f(-100)=10209$、$f(3.5)=14.25$。因此

   $\text{定義域}(f)=(-\infty,\infty).$

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   別把它和值域混為一談。 配方可得

   $f(x)=(x-1)^{2}+8,$

   所以函數值永遠不會低於 $8$；等價地，判別式 $(-2)^2-4(1)(9)=-32$ 為負，表示 $f$ 沒有實數零點。這限制的是值域 $[8,\infty)$，跟「哪些數可以代進去」毫無關係。

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   記住這條一般結論。 任何次數的多項式函數，定義域都是 $(-\infty,\infty)$。只有當式子裡出現分式、偶次方根或對數時，定義域才真正需要費心去求。