解 x⁵ + 30x⁴ + 75x³ − 3250x² − 15000x = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把明顯的公因式提出來。 每一項都含有 $x$：

   $x\left(x^4+30x^3+75x^2-3250x-15000\right)=0$

   所以 $x=0$ 立刻就是一個根，剩下的工作是一個四次式。

2. 2

   在 15000 的因數裡找整數根。 把 $x=10$ 代進那個四次式：

   $10000+30000+7500-32500-15000=0\;\checkmark$

   所以 $(x-10)$ 是因式。代入測試既便宜又能一槌定音；不代入就亂猜 $\pm 25$ 這類大根，正是錯誤的因式分解被寫出來的原因。

3. 3

   做除法，並繼續分解。 用綜合除法把四次式除以 $x-10$，剩下

   $x^3+40x^2+475x+1500$

   而 $x=-5$ 滿足這個三次式：$-125+1000-2375+1500=0\;\checkmark$。再除以 $x+5$ 得到二次式

   $x^2+35x+300$

4. 4

   分解最後這個二次式。 乘積為 $300$、和為 $35$ 的兩數是 $15$ 與 $20$：

   $x^2+35x+300=(x+15)(x+20)$

   所以完整的因式分解是

   $x^5+30x^4+75x^3-3250x^2-15000x=x(x-10)(x+5)(x+15)(x+20)$

5. 5

   列出所有根並逐一驗證。

   $x=0,\;10,\;-5,\;-15,\;-20$

   兩項獨立的檢查確認了這組解。根與係數關係：五根之和必須是 $-30$，而 $0+10-5-15-20=-30\;\checkmark$；四個非零根的乘積必須等於四次式的常數項 $-15000$ 除以它的首項係數 $1$，而 $10\cdot(-5)\cdot(-15)\cdot(-20)=-15000\;\checkmark$。用數值方法解這個五次式，回傳的也恰好是 $10,-20,-15,-5,0$。