分解 4x² − 9，並解 4x² − 9 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先確認兩項都是完全平方。 這是套用平方差公式的前提：

   $4x^{2}=(2x)^{2},\qquad9=3^{2}$

   係數 $4$ 本身就是平方數，所以 $4x^{2}$ 的平方根是 $2x$，不是 $4x$——把係數折半而不是開根號，是最常見的錯誤。

2. 2

   套用公式。 在 $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ 中取 $a=2x$、$b=3$：

   $4x^{2}-9=(2x)^{2}-3^{2}=(2x-3)(2x+3)$

   這裡沒有一次項要處理，因為交叉項 $-6x$ 與 $+6x$ 互相抵消——這正是為什麼這個型態只看得到兩項。

3. 3

   展開驗算。 $(2x-3)(2x+3)=4x^{2}+6x-6x-9=4x^{2}-9$ ✓，在 $40$ 個整數點上確認過 ✓。注意 $4x^{2}+9$ 這種平方和在實數上分不開——那個減號是關鍵。

4. 4

   用乘積為零的性質解方程式。

   $(2x-3)(2x+3)=0\quad\Longrightarrow\quad2x-3=0\ \text{ 或 }\ 2x+3=0$

   $x=\frac{3}{2}\qquad\text{或}\qquad x=-\frac{3}{2}$

5. 5

   兩個根都檢查一次。 代入 $x=\tfrac32$：$4\cdot\tfrac94-9=9-9=0$ ✓。代入 $x=-\tfrac32$：$4\cdot\tfrac94-9=0$ ✓（平方吃掉了負號）。用開平方的路徑也得到同樣答案：$4x^{2}=9\Rightarrow x^{2}=\tfrac94\Rightarrow x=\pm\tfrac32$ ✓。