化簡分式 (x² + 3x − 10)/(x² − 4)，並寫出 x 的限制。

Step-by-step solution

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   用「和與積」湊出一對數來分解分子。 對 $x^2 + 3x - 10$，要找兩個數相乘得 $-10$、相加得 $3$：就是 $5$ 與 $-2$。

   $x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2)$

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   用平方差分解分母。 $x^2 - 4 = x^2 - 2^2$，所以

   $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

   先認出 $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ 這個型態很值得 —— 比去湊因數對快多了。

3. 3

   約分之前先記下限制。 只要分母為零，原式就沒有定義，所以 $x \neq 2$ 且 $x \neq -2$。這件事現在就要寫下來，因為下一步會把 $x = 2$ 的痕跡抹掉。

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   約掉公因式。 分子分母都帶著 $(x-2)$：

   $\frac{(x+5)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+5}{x+2}$

   被約掉的 $(x-2)$ 在圖形上 $x = 2$ 處留下一個可去的洞 —— 化簡後的式子在那裡有值 $\tfrac{7}{4}$，但原式沒有。

5. 5

   代一個值驗算。 取 $x = 3$，原式為 $\tfrac{9+9-10}{9-4} = \tfrac{8}{5} = 1.6$，化簡式給出 $\tfrac{3+5}{3+2} = \tfrac{8}{5} = 1.6$。除了被排除的點以外，兩者處處相等。