將 x⁵ + y⁵ 因式分解。

Step-by-step solution

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   先確認和到底能不能分解。 次方和只有在指數是奇數時才分得開。理由在根：$x=-y$ 會使 $x^{5}+y^{5}=-y^{5}+y^{5}=0$，所以由因式定理，$(x+y)$ 一定整除它。指數若是偶數，同樣的代入會得到 $2y^{4}\neq0$，這就是 $x^{4}+y^{4}$ 沒有這種因式的原因。

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   套用奇次方和的公式。 當 $n$ 為奇數，

   $x^{n}+y^{n}=(x+y)\left(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}-\cdots+y^{n-1}\right)$

   正負號交錯，從正號開始；又因為 $n-1$ 是偶數、項數 $n$ 是奇數，所以也以正號結束。

3. 3

   寫出 $n=5$ 的情形。 第二個因式有 $5$ 項，每項的總次數都是 $4$：

   $x^{5}+y^{5}=(x+y)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)$

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   展開驗算。 乘開來，$x$ 分配後得到 $x^{5}-x^{4}y+x^{3}y^{2}-x^{2}y^{3}+xy^{4}$，$y$ 分配後得到 $x^{4}y-x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}-xy^{4}+y^{5}$。中間各項兩兩相消，只剩下 $x^{5}+y^{5}$ ✓——正負號交錯存在的意義，就是為了逼出這種望遠鏡式的相消。這個恆等式在 $-8\le x,y\le8$ 的全部 $289$ 組整數上都驗證過 ✓。

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   確認四次因式在整數範圍不可分解。 把它看成 $x^{2}$ 的二次式並沒有有理的結構，而且只要實數 $x,y$ 不同時為零，它的值恆為正（例如 $x=y=1$ 時是 $1-1+1-1+1=1$）。所以這個兩因式的形式就是完整答案。抽查 $x=2,y=1$：$32+1=33$，而 $(3)(16-8+4-2+1)=3\cdot11=33$ ✓。