將 (2x − 1)/(x − 1)² 分解成部分分式。

Step-by-step solution

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   依重根因式挑出正確的分解形式。 分母是同一個一次因式 $(x-1)$ 的 $2$ 次方，所以分解時必須為從 $1$ 到 $2$ 的每一個次方各配一項：

   $\frac{2x-1}{(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}$

   若只留 $(x-1)^2$ 那一項，未知數只剩一個，一般而言配不出一次的分子。

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   去分母。 兩邊同乘 $(x-1)^2$：

   $2x-1=A(x-1)+B$

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   展開後依 $x$ 的次方整理。

   $2x-1=Ax+(B-A)$

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   比較係數。 比較 $x$ 項得 $A=2$；比較常數項得 $B-A=-1$，所以

   $B=A-1=1$

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   用代特殊值的捷徑交叉檢查。 把 $x=1$ 代進 $2x-1=A(x-1)+B$，$A$ 那一項立刻消掉，得 $B=2(1)-1=1$ ✓ - 這是對比較係數法一次獨立的印證。

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   寫出結果並做數值驗算。

   $\frac{2x-1}{(x-1)^2}=\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2},\qquad x\neq 1$

   在 $x=3$：左式 $=\tfrac{5}{4}=1.25$，右式 $=\tfrac{2}{2}+\tfrac{1}{4}=1.25$ ✓。在 $x=0.5$：左式 $=0$，右式 $=-4+4=0$ ✓。