用乘法法則化簡 √(x³)，假設變數代表非負實數。

Step-by-step solution

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   先確定根式的「最簡」是什麼意思。 當根號底下再也沒有完全平方因式時，這個平方根就算化到最簡。指數 $3$ 是奇數，整個開不出來——但其中最大的偶次部分可以。整個策略就只有這件事：把藏在 $x^{3}$ 裡最大的完全平方拆出來。

2. 2

   把被開方數寫成完全平方乘以餘下的部分。 因為 $3=2+1$，

   $x^{3}=x^{2}\cdot x\qquad\Longrightarrow\qquad \sqrt{x^{3}}=\sqrt{x^{2}\cdot x}$

3. 3

   套用根式的乘法法則。 對非負的 $a$ 與 $b$，

   $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$

   所以

   $\sqrt{x^{2}\cdot x}=\sqrt{x^{2}}\cdot\sqrt{x}$

   題目裡的非負假設，正是允許這樣拆開的依據。

4. 4

   化簡完全平方那一項。 一般來說 $\sqrt{x^{2}}=|x|$，但題目已說明 $x\geq 0$，所以絕對值可以省略：

   $\sqrt{x^{2}}=x$

   因此

   $\sqrt{x^{3}}=x\sqrt{x}$

5. 5

   確認已完全化簡，並代值檢查。 剩下的被開方數是一次方的 $x$，沒有完全平方因式，工作完成。數值上，取 $x=9$ 時原式為 $\sqrt{729}=27$，化簡式為 $9\sqrt{9}=9\cdot 3=27$；取 $x=2$ 時兩者都等於 $\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2.8284$。