解不等式 (x − 1)/2 < (7x + 2)/5，並用區間表示解集合。

Step-by-step solution

1. 1

   同乘最小公分母，先確認它的正負。 分母 $2$ 與 $5$ 的最小公分母是 $10$。因為 $10>0$，兩邊同乘之後不等號方向不變——只有乘或除以負數時方向才會反轉：

   $10\cdot\frac{x-1}{2}<10\cdot\frac{7x+2}{5}\;\Longrightarrow\;5(x-1)<2(7x+2).$

2. 2

   把兩個乘積展開。 仔細分配：

   $5(x-1)=5x-5,\qquad 2(7x+2)=14x+4,$

   於是不等式成為

   $5x-5<14x+4.$

   不寫去分母那一步、直接「斜著」交叉相乘，常會把分子配錯分母；明白寫出同乘 10 這一行就能避免。

3. 3

   把 $x$ 的項移到係數較大的那一邊。 兩邊同減 $5x$，可讓 $x$ 的係數保持為正：

   $-5<9x+4.$

   另一種做法是減 $14x$，會得到 $-9x-5<4$，接著就得除以 $-9$ 並記得反轉符號。選擇不產生負係數的方向，可以整類錯誤一次消除。

4. 4

   孤立 $x$。 兩邊同減 $4$，再除以正數 $9$：

   $-9<9x\;\Longrightarrow\;-1<x,\qquad\text{也就是}\qquad x>-1.$

   用區間表示，解集合是 $(-1,\infty)$；端點被排除，因為原不等式是嚴格的。

5. 5

   在邊界附近驗證。 取 $x=-0.9$：左邊 $=\frac{-1.9}{2}=-0.95$，右邊 $=\frac{-4.3}{5}=-0.86$，$-0.95<-0.86$ ✓。取 $x=-1.1$：左邊 $=-1.05$，右邊 $=\frac{-5.7}{5}=-1.14$，不等式不成立 ✓。取 $x=-1$ 時兩邊都等於 $-1$，確認了邊界。