用因式分解解方程式 −4x² + 20x − 24 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先處理負的首項係數。 直接分解 $-4x^2+20x-24$ 等於要同時應付負的 $a$ 與一個公因式。三個係數都能被 $-4$ 整除，所以先把它提出來：

   $-4x^2+20x-24=-4\left(x^2-5x+6\right)$

   每一項除以 $-4$ 都會變號：$-4x^2\div(-4)=x^2$、$20x\div(-4)=-5x$、$-24\div(-4)=6$。

2. 2

   分解括號內首項係數為 1 的二次式。 乘積為 $6$、和為 $-5$ 的兩數是 $-2$ 與 $-3$：

   $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

   所以方程式成為 $-4(x-2)(x-3)=0$。

3. 3

   除以這個非零常數。 與除以含變數的式子不同，除以 $-4$ 完全安全，因為 $-4$ 不可能為零，不會遺失任何根：

   $(x-2)(x-3)=0$

4. 4

   運用乘積為零的性質。

   $x-2=0\ \text{或}\ x-3=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{或}\ x=3$

5. 5

   代回原方程式驗算，連負號一起檢查。

   $-4(2)^2+20(2)-24=-16+40-24=0\quad\checkmark$

   $-4(3)^2+20(3)-24=-36+60-24=0\quad\checkmark$