解 1/(x(x + 2)) − 1/(x + 1)² = 1/12。

Step-by-step solution

1. 1

   看出兩個分母之間藏著的關係。 展開來看，$x(x+2)=x^{2}+2x$，而 $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$。兩者剛好差 $1$，所以令

   $u=(x+1)^{2}$

   就有 $x(x+2)=u-1$，方程式塌縮成單一變數的問題。若直接去分母，反而會得到一個四次式。

2. 2

   改寫成 u 的式子。

   $\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}=\frac{1}{12}$

3. 3

   把左邊合併。 分子會互相消掉：

   $\frac{u-(u-1)}{u(u-1)}=\frac{1}{u^{2}-u}$

   所以方程式是 $\dfrac{1}{u^{2}-u}=\dfrac{1}{12}$，也就是

   $u^{2}-u-12=0$

4. 4

   解 u 的二次式。

   $(u-4)(u+3)=0\quad\Longrightarrow\quad u=4\ \text{或}\ u=-3$

5. 5

   捨去不可能的值，再把代換換回去。 因為 $u=(x+1)^{2}$ 是一個平方，$u=-3$ 不可能。由 $u=4$：

   $(x+1)^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad x+1=\pm 2\quad\Longrightarrow\quad x=1\ \text{或}\ x=-3$

   $\boxed{x=1\ \text{或}\ x=-3}$

6. 6

   把兩個根代回原式檢查，並確認定義域。 排除值是 $x=0$、$x=-2$ 與 $x=-1$；兩個根都不在其中。在 $x=1$：$\tfrac{1}{1\cdot 3}-\tfrac{1}{4}=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{1}{12}$ ✓。在 $x=-3$：$\tfrac{1}{(-3)(-1)}-\tfrac{1}{4}=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{1}{12}$ ✓。兩根對 $x=-1$ 對稱是意料中的事，因為整條方程式只透過 $(x+1)^{2}$ 依賴 $x$。