解不等式 2x² + x − 1 > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把二次式分解。 用兩個乘積為 $2\cdot(-1)=-2$、和為 $+1$ 的數把中間項拆開，也就是 $+2$ 與 $-1$：

   $2x^2+2x-x-1=2x(x+1)-1(x+1)=(2x-1)(x+1)$

   先分解是值得的：這樣兩個根不必開任何平方根就會浮出來。

2. 2

   把根讀出來。 $(2x-1)(x+1)=0$ 給出 $x=\frac12$ 與 $x=-1$。這兩個點把數線切成 $(-\infty,-1)$、$\left(-1,\frac12\right)$ 與 $\left(\frac12,\infty\right)$。

3. 3

   從圖形的形狀先預測答案。 首項係數 $2>0$，所以拋物線開口向上：它在兩根之外為正，在兩根之間則嚴格為負。答案的樣貌其實已經出來了。

4. 4

   每個區間各取一個測試點確認。

   $x=-2:\ (-5)(-1)=5>0\qquad x=0:\ (-1)(1)=-1<0\qquad x=1:\ (1)(2)=2>0$

   與預測相符：外側兩個區間成立，中間那個不成立。從結構上看，兩個因式同號時乘積才會是正的。

5. 5

   處理端點。 在 $x=-1$ 與 $x=\frac12$ 時式子恰好等於 $0$，而 $0>0$ 是假的，所以兩端都要用嚴格不等號：

   $x\in(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac12,\infty\right)$