解不等式 (2x − 1)/(1 − x) ≥ 1。

Step-by-step solution

1. 1

   千萬不要兩邊乘 1 − x。 它的正負號在 $x=1$ 處翻轉，兩邊同乘會在這個點的一側悄悄把不等號反向。正確的第一步是把式子整理成「一個分式與零比較」。

2. 2

   減去 1，再依公分母合併。

   $\frac{2x-1}{1-x}-\frac{1-x}{1-x}\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{2x-1-(1-x)}{1-x}\ge0$

   分子要小心展開——負號要作用到兩項上：

   $2x-1-1+x=3x-2$

   於是不等式變成 $\dfrac{3x-2}{1-x}\ge0$。

3. 3

   求新分式的臨界點。

   $3x-2=0\Rightarrow x=\frac23,\qquad 1-x=0\Rightarrow x=1\ (\text{排除})$

   注意減掉那個 $1$ 之後，分子的零點從 $\tfrac12$（也就是本題 $\ge0$ 那個版本裡的零點）挪到了 $\tfrac23$。

4. 4

   在三個區間上取點檢驗。 當 $x=0$：$\dfrac{-2}{1}=-2<0$。當 $x=\tfrac34$：$\dfrac{9/4-2}{1/4}=\dfrac{1/4}{1/4}=1>0$。當 $x=2$：$\dfrac{4}{-1}=-4<0$。所以只有 $\left(\tfrac23,1\right)$ 符合。

5. 5

   處理兩個端點。 在 $x=\tfrac23$ 處變形後的分式恰好等於 $0$，非嚴格的 $\ge$ 把它包含在內——等價地說，原分式在那裡正好等於 $1$。在 $x=1$ 處式子沒有意義，所以必須排除。

6. 6

   寫出答案並驗證。

   $\frac23\le x<1,\qquad\left[\frac23,\ 1\right)$

   在 $[-3,3]$ 上取 $18001$ 個有理點（跳過 $x=1$）用精確分數逐點檢驗，沒有一處不符；而在 $x=\tfrac23$ 處原式左邊正好等於 $1$ ✓。