將 x² − 7x + 12 因式分解。

Step-by-step solution

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   設定要找的東西。 對首一二次式 $x^2+bx+c$ 來說，因式分解就是找兩個數，乘積是 $c=12$、和是 $b=-7$。接著 $x^2+bx+c=(x+m)(x+n)$，其中 $m$、$n$ 就是這兩個數。

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   先用正負號縮小範圍，再開始列。 乘積 $+12$ 是正的，所以兩個數同號；和 $-7$ 是負的，所以共同的符號是負號。只需要檢查負數對——工作量直接減半。

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   列出 12 的負因數對與它們的和。

   $(-1,-12)\to-13,\qquad(-2,-6)\to-8,\qquad(-3,-4)\to-7\ \checkmark$

   $-3$ 與 $-4$ 這一對成立：$(-3)(-4)=12$ 且 $-3+(-4)=-7$。

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   寫出因式分解。

   $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$

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   展開檢查。 $(x-3)(x-4)=x^2-4x-3x+12=x^2-7x+12$ ✓。一次項係數就是那兩個數的和，常數項就是它們的積，跟設計的完全一樣。

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   讀出根並驗算。 這個式子在 $x=3$ 與 $x=4$ 時為零。把原式與因式分解後的形式在 $-30$ 到 $29$ 的每個整數上比較，結果完全相同 ✓；而且判別式 $49-48=1$ 是完全平方——這正是「一定存在整數因式」的保證。