解 x⁶ + 4x⁵ − 4x⁴ + 4x³ − 7x² − 8x + 10 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先找有理根。 依有理根定理，任何有理根都必須整除常數項 $10$：候選值是 $\pm1,\pm2,\pm5,\pm10$。先試 $x=1$ 最快，因為那只是把係數加起來：

   $1+4-4+4-7-8+10=0$

   所以 $x=1$ 是一個根，$(x-1)$ 是因式。六次方程式靠公式是沒指望的，找到第一個根就是關鍵的突破口。

2. 2

   用綜合除法把 $(x-1)$ 除掉。 係數是 $1,4,-4,4,-7,-8,10$、除數值為 $1$，商是

   $x^{5}+5x^{4}+x^{3}+5x^{2}-2x-10$

   餘式為 $0$，確認了這個根。

3. 3

   用分組分解處理這個五次式。 係數兩兩成對：$(1,5),(1,5),(-2,-10)$——每一對都是 $1:5$ 的比例，這正是含有共同因式 $(x+5)$ 的特徵：

   $x^{5}+5x^{4}+x^{3}+5x^{2}-2x-10=x^{4}(x+5)+x^{2}(x+5)-2(x+5)=(x+5)\left(x^{4}+x^{2}-2\right)$

4. 4

   把四次式當成 $x^{2}$ 的二次式來看。 令 $y=x^{2}$，

   $y^{2}+y-2=(y+2)(y-1)\ \Longrightarrow\ x^{4}+x^{2}-2=\left(x^{2}+2\right)\left(x^{2}-1\right)=\left(x^{2}+2\right)(x-1)(x+1)$

   注意 $(x-1)$ 第二次出現了——二重根正是從這裡來的。

5. 5

   把完整的因式分解拼起來。

   $(x-1)^{2}(x+1)(x+5)\left(x^{2}+2\right)=0$

   把它展開回去，會一字不差地重現原本的係數 $1,4,-4,4,-7,-8,10$ ✓，這就是整串步驟前後一致的檢查。

6. 6

   讀出六個根。 讓每個因式各自等於零：

   $x=1\ \text{（二重）},\quad x=-1,\quad x=-5,\quad x=\pm i\sqrt2$

   連重數一起算共有六個根，正是代數基本定理對六次多項式的要求。其中四個是實根（$1$ 重複了一次），另外兩個是一對共軛純虛根。