將 x³ + x² − 4x − 4 完全因式分解。

Step-by-step solution

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   選擇分組，並說明為什麼這是對的工具。 剛好四項，而且四項之間沒有共同因式，分成兩組是標準的第一步。只要兩組提完公因式後留下相同的二項式就成功了——下一步就是檢查這件事。

2. 2

   拆成兩組。

   $x^3+x^2-4x-4=\left(x^3+x^2\right)+\left(-4x-4\right)$

   分組時把符號連同項一起帶進括號，可以避免第二組最經典的正負號錯誤。

3. 3

   各組提出公因式。 第一組提出 $x^2$；第二組提出 $-4$（不是 $+4$，這樣二項式才會一致）：

   $x^3+x^2=x^2(x+1),\qquad -4x-4=-4(x+1)$

   兩組都留下 $(x+1)$——分組奏效了。

4. 4

   提出共同的二項式。

   $x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)\left(x^2-4\right)$

5. 5

   用平方差收尾。 $x^2-4=x^2-2^2$，所以

   $x^2-4=(x-2)(x+2)$

   因此

   $x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2)$

   停在 $(x+1)(x^2-4)$ 會讓因式分解不完全。

6. 6

   代入大量數值展開驗算。 把原三次式與乘積在 $-40$ 到 $39$ 的每個整數上比較，結果完全相同 ✓。三個根 $-1,\ 2,\ -2$ 也很容易直接確認：$(-1)^3+(-1)^2+4-4=0$、$8+4-8-4=0$、$-8+4+8-4=0$ ✓。