解 0 = 0.7x + 6.804e10 · x⁴ − 1210.23，求所有實數 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先整理成標準式，並判斷數量級。 重新排列：

   $6.804\times10^{10}x^{4}+0.7x-1210.23=0.$

   四次項的係數大得驚人，所以 $x$ 還很小的時候，$x^{4}$ 項就已經和常數項一樣大。這和四次項係數極小的情況正好相反——那種情況下根會很大。

2. 2

   先丟掉一次項，取得第一個估計值。 只讓兩個主導項平衡：

   $6.804\times10^{10}x^{4}\approx1210.23\;\Longrightarrow\;x^{4}\approx1.7787\times10^{-8}\;\Longrightarrow\;|x|\approx0.0115485.$

   這裡的忽略確實站得住腳：在那個 $x$ 上，一次項 $0.7x\approx0.0081$ 比 $1210.23$ 小了五個數量級。又因為 $x^{4}$ 是偶次的，這個估計立刻暗示有兩個根，一個在 $+0.0115$ 附近，一個在 $-0.0115$ 附近。

3. 3

   確認有兩次變號。 讓 $f(x)=6.804\times10^{10}x^{4}+0.7x-1210.23$ 掃過 $[-1,1]$，恰好出現兩次變號，分別在 $-0.011549$ 與 $+0.011548$ 附近。只回報正根——這是最容易犯的漏答——會丟掉一半的答案。

4. 4

   對每個區間用二分法逼到足夠精度。 一直對分下去，直到 $|f|<10^{-12}$：

   $x_{+}=0.0115484893,\qquad x_{-}=-0.0115485279.$

   兩者幾乎、但不完全互為相反數：$0.7x$ 這一項稍微破壞了對稱性，把負根推得離零略遠一點。若把答案寫成 $0.0115425$ 就不夠準了——在那裡 $f\approx-2.51$，並不是 $0$。

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   代回去驗算。 在 $x=0.0115484893$：四次項是 $1210.222$，一次項是 $0.008084$，兩者一起把 $1210.23$ 抵消到 $9\times10^{-6}$ 以內 ✓。在 $x=-0.0115485279$ 四次項是 $1210.238$，一次項是 $-0.008084$，同樣加起來等於零 ✓。這個四次式剩下的兩個根是一組共軛複數。