已知關於 x 的聯立不等式 x > m + 2 且 −2x − 1 ≥ 4m + 1 無解，且方程式 x + m − 2 = 2 − x 有非負整數解，求滿足條件的所有整數 m 之和。

Step-by-step solution

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   先把第二個不等式解成 x 的範圍。 由 $-2x-1\ge 4m+1$ 得 $-2x\ge 4m+2$。兩邊同除以負數 $-2$，不等號要反向：$x\le -2m-1$。

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   把「無解」翻成關於 m 的條件。 聯立不等式要求 $x>m+2$ 與 $x\le -2m-1$ 同時成立。這樣的 $x$ 不存在，恰好發生在上界沒有嚴格落在下界之上時，也就是 $-2m-1\le m+2$。整理得 $-3\le 3m$，所以 $m\ge -1$。

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   解那個一次方程式。 由 $x+m-2=2-x$ 得 $2x=4-m$，所以 $x=\frac{4-m}{2}$。

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   對這個根加上「非負整數」的要求。 非負要求 $\frac{4-m}{2}\ge 0$，即 $m\le 4$；要是整數則要求 $4-m$ 為偶數，所以 $m$ 必須是偶數。

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   三個條件取交集。 在整數範圍內把 $m\ge -1$、$m\le 4$ 與 $m$ 為偶數合在一起，只剩 $m\in\{0,2,4\}$。

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   逐個回代檢驗。 $m=0$：不等式要求 $x>2$ 且 $x\le -1$（確實無解），方程式的根 $x=2$。$m=2$：$x>4$ 且 $x\le -5$（無解），根 $x=1$。$m=4$：$x>6$ 且 $x\le -9$（無解），根 $x=0$。三個都符合，故 $0+2+4=6$。