解不等式 x² + x + 1 > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先找根，因為只有根才能讓符號改變。 連續函數只在等於零的地方變號，所以先算 $x^{2}+x+1$ 的判別式，其中 $a=1$、$b=1$、$c=1$：

   $\Delta=b^{2}-4ac=1-4=-3$

   因為 $\Delta<0$，根本沒有實根，所以這個式子從來不曾穿過零——它在整條數線上的符號都一樣。

2. 2

   由首項係數決定那唯一的符號。 因為 $a=1>0$，拋物線開口向上，而它又沒有實根，所以整條必定落在軸的上方。因此對每一個實數 $x$ 都有 $x^{2}+x+1>0$，不等式的解是全體 $\mathbb{R}$。

3. 3

   用配方法獨立證明一次。 $x$ 的係數的一半是 $\tfrac12$，所以

   $x^{2}+x+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}-\tfrac14+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34$

   這個恆等式在 $140$ 個精確有理數點上驗證過 ✓。它是證明而不是抽測：它一次就對所有 $x$ 成立。

4. 4

   從平方讀出下界。 實數的平方永遠不是負的，所以 $\left(x+\tfrac12\right)^{2}\ge0$，因此

   $x^{2}+x+1\ge\tfrac34>0$

   最小值是 $\tfrac34$，在 $x=-\tfrac12$ 達到。直接檢查：$\tfrac14-\tfrac12+1=\tfrac34$ ✓。

5. 5

   寫出解集合。

   $x\in\mathbb{R}\quad\text{即}\quad(-\infty,\infty)$

   相關的事實也立刻跟著出來：$x^{2}+x+1<0$ 沒有解，而 $x^{2}+x+1=0$ 也沒有實數解（它的根是複數 $\tfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$）。