解齊次聯立方程式 x + 2y − 2z = 0、2x − y + z = 0、3x + y − z = 0。

Step-by-step solution

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   注意零解一定存在。 每一式的右邊都是 $0$，所以 $(0,0,0)$ 自動就是解。有趣的問題是有沒有其他解 —— 而那恰好發生在三個式子線性相依的時候。

2. 2

   把第二式與第三式相加，一次消掉兩個變數。 $-y$ 與 $+y$ 抵消，$+z$ 與 $-z$ 也抵消：

   $(2x-y+z)+(3x+y-z)=5x=0\;\Longrightarrow\;x=0.$

   這個配對值得留意：因為第二式與第三式的 $y$ 與 $z$ 係數恰好相反，一次相加就讓兩個變數同時消失。

3. 3

   把 $x=0$ 代入其餘各式。 第二式變成 $-y+z=0$，故 $z=y$。第一式變成 $2y-2z=0$，也就是 $y=z$ —— 是同一個條件，不是新的條件。這種重複正是相依聯立的代數指紋：三個式子其實只施加了兩個獨立的限制。

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   把解集合參數化。 由於 $x=0$，而 $y=z$ 可以一起自由滑動，令 $y=z=t$：

   $(x,y,z)=(0,t,t),\qquad t\in\mathbb{R}.$

   從幾何看，三個平面都包含由 $(0,1,1)$ 所張出的直線，所以它們交於一條直線而不是一個點。

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   用行列式與代入法雙重驗證。 沿第一列展開，

   $\begin{vmatrix}1&2&-2\\2&-1&1\\3&1&-1\end{vmatrix}=1(1-1)-2(-2-3)-2(2+3)=0+10-10=0,$

   確認非零解必定存在。代 $(0,1,1)$ 檢查：$0+2-2=0$ ✓、$0-1+1=0$ ✓、$0+1-1=0$ ✓。