展開並化簡 (x + 1)(x² − x + 1)。

Step-by-step solution

1. 1

   把二項式分配到三項式上。 把 $(x+1)$ 拆成兩項，各自乘上整個第二個因式：

   $(x+1)(x^2-x+1)=x(x^2-x+1)+1\cdot(x^2-x+1)$

2. 2

   分別展開。

   $x(x^2-x+1)=x^3-x^2+x$

   $1\cdot(x^2-x+1)=x^2-x+1$

3. 3

   相加，看著中間各項互相消滅。

   $x^3-x^2+x+x^2-x+1$

   $-x^2$ 與 $+x^2$ 抵消，$+x$ 與 $-x$ 也抵消。六項裡有四項消失：

   $x^3+1$

4. 4

   弄懂這個抵消為何是必然的。 這正是立方和公式反過來讀：

   $a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$

   取 $a=x$、$b=1$，第二個因式就是 $x^2-x\cdot 1+1^2=x^2-x+1$，正是題目給的式子。$a^2-ab+b^2$ 裡的正負交錯，就是讓交叉項抵消的關鍵——那個因式不是 $(x^2+x+1)$，後者要配 $(x-1)$ 才會得到 $x^3-1$。

5. 5

   代一個值驗算。 取 $x=2$：原式是 $(3)(4-2+1)=3\cdot 3=9$，而 $x^3+1=8+1=9$。✓ 取 $x=-1$ 時兩邊都是 $0$，與 $x=-1$ 是 $x^3+1$ 唯一實根的事實一致。