若 x² + px + q < 0 的解集合為 (−1/2, 1/3)，求 qx² + px + 1 > 0 的解集合。

Step-by-step solution

1. 1

   把給定的解集合轉成兩根。 $x^{2}+px+q$ 的最高次項係數是 $+1>0$，所以拋物線開口向上，只在兩根之間為負。因此給定區間的端點就是兩根：

   $x_1=-\frac12,\qquad x_2=\frac13$

2. 2

   把二次式還原，讀出 p 與 q。

   $x^{2}+px+q=\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac13\right)=x^{2}+\left(\frac12-\frac13\right)x-\frac16=x^{2}+\frac16x-\frac16$

   於是

   $p=\frac16,\qquad q=-\frac16$

   （用根與係數關係也一樣：$x_1+x_2=-p$、$x_1x_2=q$。）

3. 3

   代入第二個不等式。

   $-\frac16x^{2}+\frac16x+1>0$

4. 4

   去分母並處理方向。 兩邊乘以 $6$（正數，方向不變）：

   $-x^{2}+x+6>0$

   再乘以 $-1$，這一次會讓不等號反向：

   $x^{2}-x-6<0$

5. 5

   因式分解求解。

   $(x-3)(x+2)<0$

   開口向上的拋物線在兩根之間為負，所以

   $-2<x<3$

   $\boxed{(-2,\,3)}$

6. 6

   檢查端點與一個內部的點。 取 $x=0$：$q(0)+p(0)+1=1>0$ ✓（在區間內）。取 $x=3$：$-\tfrac16(9)+\tfrac16(3)+1=-\tfrac32+\tfrac12+1=0$，所以 $x=3$ 要排除，開區間端點本來就該如此。取 $x=4$：$-\tfrac{16}{6}+\tfrac46+1=-\tfrac{6}{6}=-1<0$ ✓（在區間外）。