除法 (8x³ − x² + 6x + 7) ÷ (2x − 1) 的第一步是什麼？選項：8x³ 除以 2x；2x 除以 8x³；6x 除以 2x；2x 除以 6x。

Step-by-step solution

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   回想驅動長除法的規則。 每一輪都是拿被除式剩下部分的首項，去除以除式的首項。正是這一點保證每一輪次數都會下降，因此過程一定會結束。

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   找出兩個首項。 在 $8x^3-x^2+6x+7$ 中首項是 $8x^3$（次數最高）。在 $2x-1$ 中首項是 $2x$。所以第一步是用 $8x^3$ 除以 $2x$。

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   執行這個除法。 $\frac{8x^3}{2x}=4x^2$，它就是商的第一項。乘回去得 $4x^2(2x-1)=8x^3-4x^2$，相減後剩下 $3x^2+6x+7$。

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   看看其他選項為何不行。 用 $2x$ 除以 $8x^3$ 把被除式與除式顛倒了，會產生負次冪。改用 $6x$ 而不是 $8x^3$ 則是挑了非首項，這樣無法降低餘式的次數。

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   把除法做完，確認這個開頭行得通。 繼續算下去得到商 $4x^2+\frac32 x+\frac{15}{4}$、餘式 $\frac{43}{4}$；出現分數係數沒有關係，但整個過程之所以能收尾，正是因為每一步都用了首項。

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   在 x = 1 做數值檢查。 被除式 $=8-1+6+7=20$、除式 $=1$，所以商加上餘式必須等於 $20$；而 $4+\frac32+\frac{15}{4}+\frac{43}{4}=20$，完全吻合。