解方程式：根號 (x² − 3) 等於 x − 1。

Step-by-step solution

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   先對右邊加上正負號條件。 平方根的值絕不會是負的，所以任何解都必須滿足 $x-1 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \ge 1.$ 這個條件就是後面用來分辨真解與增根的依據。

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   兩邊平方。 $x^2-3 = (x-1)^2 = x^2-2x+1.$

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   消掉二次項。 $x^2$ 在兩邊都出現，剛好抵銷，只剩下一個一次方程式：$-3 = -2x+1.$ 只要最高次項像這樣對上，平方後的方程式次數就會降一階。

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   解出 x。 $-4 = -2x \quad\Longrightarrow\quad x = 2.$

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   兩個要求都要驗。 $x=2$ 滿足 $x\ge1$，而被開方數是 $2^2-3 = 1 \ge 0$。代回原式：$\sqrt{4-3} = \sqrt1 = 1$，$2-1 = 1$。兩邊一致，所以 $x=2$ 是真的解。

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   說明為什麼一定要檢驗。 平方會把 $\sqrt{A} = B$ 混進 $\sqrt{A} = -B$ 的解；這一題只冒出一個候選解而且它通過檢驗，但在同型的題目 $\sqrt{x^2-6x+25} = 3-x$ 裡，同樣的做法得到的卻是矛盾。