化簡 √(3 + √5) + √(3 − √5)。

Step-by-step solution

1. 1

   先確認這個式子是實數，再給它取個名字。 因為 $\sqrt5\approx 2.236<3$，$3+\sqrt5$ 與 $3-\sqrt5$ 都是正的，所以兩個平方根都是正實數。令

   $S=\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}$

   給這個和取名字，才有辦法走下一步：巢狀根號很少能逐項化簡，但它們的平方常常可以。

2. 2

   用 $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ 把整個和平方。 每個平方根一平方就消失了：

   $S^2=(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)+2\sqrt{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}$

3. 3

   先把兩個好算的部分化簡。 相加時 $\sqrt5$ 互相抵銷，而剩下那個根號底下的乘積是平方差：

   $(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)=6,\qquad (3+\sqrt5)(3-\sqrt5)=3^2-(\sqrt5)^2=9-5=4$

   當初會挑這一對共軛，整個用意就在這個抵銷。

4. 4

   把 $S^2$ 組起來。

   $S^2=6+2\sqrt4=6+2\cdot 2=10$

5. 5

   選對那個根。 平方可能引進錯誤的正負號，所以要回到原式來判斷：$S$ 是兩個正數的和，因此 $S>0$，於是

   $S=\sqrt{10}$

   數值上 $\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}=2.288246+0.874032=3.162278=\sqrt{10}$。✓