若 x = 1/(√5 − 2)、y = 1/(√5 + 2)，求 (1) x + y 與 xy；(2) x² + y²。

Step-by-step solution

1. 1

   先把兩個分母都有理化。 分子分母同乘共軛式，分母立刻變成 $\left(\sqrt5\right)^{2}-2^{2}=1$：

   $x=\frac{1}{\sqrt5-2}\cdot\frac{\sqrt5+2}{\sqrt5+2}=\sqrt5+2,\qquad y=\frac{1}{\sqrt5+2}\cdot\frac{\sqrt5-2}{\sqrt5-2}=\sqrt5-2$

   兩個分母都恰好等於 $1$，這也是後面數字如此乾淨的原因。

2. 2

   (1) 先求和。 那兩個 $\pm 2$ 互相抵消：

   $x+y=\left(\sqrt5+2\right)+\left(\sqrt5-2\right)=2\sqrt5$

3. 3

   再求積。 這是一個平方差：

   $xy=\left(\sqrt5+2\right)\left(\sqrt5-2\right)=5-4=1$

   注意 $x$ 與 $y$ 互為倒數——從它們最初的定義式就能一眼看出。

4. 4

   (2) 用對稱式恆等式，別去逐項平方。

   $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$

   這樣就不必展開兩個根式的平方，先求 $x+y$ 與 $xy$ 的意義正在於此。

5. 5

   代入。

   $x^{2}+y^{2}=\left(2\sqrt5\right)^{2}-2(1)=20-2=18$

   $\boxed{x+y=2\sqrt5,\quad xy=1,\quad x^{2}+y^{2}=18}$

6. 6

   直接驗算一遍。 $x=4.23607$、$y=0.23607$：$x+y=4.47214=2\sqrt5$ ✓，$xy=1.00000$ ✓，$x^{2}+y^{2}=17.9443+0.0557=18.000$ ✓。同理，用恆等式 $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)$ 可得 $\left(2\sqrt5\right)^{3}-3\left(2\sqrt5\right)=40\sqrt5-6\sqrt5=34\sqrt5$。