解 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.057072 = 0。

Step-by-step solution

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   動手前先預測各根的量級。 $x^{2}$ 的係數比其他項大得多，所以必有一根接近 $245.711$（單靠它一個就幾乎平衡掉三次項），而其餘兩根必定很小，大致就是近似二次式 $-245.711x^{2}+2.764156x+0.057072\approx 0$ 的根。預先知道量級會相差 $10^{4}$，就能判斷哪些檢查靈敏、哪些不靈敏。

2. 2

   先找那個大根。 當 $x$ 接近 $245.711$ 時，三次式由 $x^{2}(x-245.711)$ 主導，從 $x_{0}=245.7$ 出發的牛頓迭代立刻收斂到

   $x_{3}=245.6997489169$

3. 3

   用變號找出兩個小根。 在零附近計算 $f$：$f(-0.011)<0$、$f(0)=0.057072>0$、$f(0.022)<0$，所以 $(-0.011,0)$ 內有一根，$(0,0.022)$ 內另有一根。以 50 位精度做牛頓迭代得到

   $x_{1}=-0.0106203880,\qquad x_{2}=0.0218714711$

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   要代回原式驗根，不能只靠根與係數關係。 這是最關鍵的一道保險。三根之和必須是 $245.711$、三根之積必須是 $-0.057072$，但大根對「和」的主導太強，錯的小根照樣看起來過關：錯誤的一對 $-0.0150152414,\ 0.0262657963$ 在和的檢查上能吻合到小數第四位（它們的積 $-0.09690$ 則差得離譜），可是把任一個代入 $f$ 都得到 $-0.0398$，而不是 $0$。

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   逐根直接確認。 把正確的值代進去，在 50 位精度下 $f(x_{1})$、$f(x_{2})$、$f(x_{3})$ 全都小於 $10^{-40}$ ✓。只有代回原多項式，才分得出真正的根與貌似接近的假根。

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   寫出三個根。

   $x\approx-0.0106203880,\qquad x\approx 0.0218714711,\qquad x\approx 245.6997489169$

   三個都是實根，與判別式為正相符；這條三次曲線與橫軸相交三次，其中兩次落在距原點百分之一以內。