設命題變數 p 的真值為 1，求使 (p → ((¬p ∨ r) ∧ ¬s)) ∧ (¬s → (¬r ∧ p)) 真值為 1 的 q、r、s 的所有取值。

Step-by-step solution

1. 1

   先注意 q 根本沒出現。 變數 $q$ 在整個式子裡一次都沒出現，所以它取什麼值都無關緊要——不論最後得出什麼結論，對 $q=0$ 與 $q=1$ 都成立。先看出這一點，要討論的情形立刻少了一半。

2. 2

   用 p = 1 化簡第一個連言項。 由 $p=1$ 得 $\neg p=0$，所以 $\neg p\vee r=r$。又因為 $1\to X\equiv X$，

   $p\to[(\neg p\vee r)\wedge\neg s]\;\equiv\;r\wedge\neg s$

   要讓整個連言為 $1$，這就逼出 $r=1$ 且 $s=0$。

3. 3

   用 p = 1 化簡第二個連言項。 這裡 $\neg r\wedge p=\neg r$，所以

   $\neg s\to(\neg r\wedge p)\;\equiv\;\neg s\to\neg r\;\equiv\;s\vee\neg r$

4. 4

   把兩個要求放在一起。 整個式子為 $1$ 當且僅當

   $(r\wedge\neg s)\wedge(s\vee\neg r)=1$

   左邊那個因子要求 $r=1,\ s=0$；把這兩個值代進右邊那個因子得 $s\vee\neg r=0\vee 0=0$。所以整個連言是 $0$。

5. 5

   得出結論：在 p = 1 之下這個式子不可滿足。

   $\boxed{\text{找不到能使該式為真的 }q,r,s\text{ ——這裡 }p=1}$

   如果題目以選擇題形式給出 $(r,s)=(0,1),(1,1),(1,0),(0,0)$，那麼每個選項都是錯的。

6. 6

   用窮舉真值表驗證。 取 $p=1$，把四組 $(r,s)$ 代進 $(r\wedge\neg s)\wedge(s\vee\neg r)$ 逐一檢查：$(0,0)\to 0\wedge 1=0$；$(0,1)\to 0\wedge 1=0$；$(1,0)\to 1\wedge 0=0$；$(1,1)\to 0\wedge 1=0$。四組全是 $0$，印證了前面的化簡。換個角度看也一樣：$r\wedge\neg s$ 與 $s\vee\neg r=\neg(r\wedge\neg s)$ 恰好互為否定，所以它們的連言對任何 $p$ 都是矛盾式。