設 A 是 m×n 矩陣，證明存在 n×m 矩陣 B 使得 ABA = A。

Step-by-step solution

1. 1

   **化到標準形。**令 $r=\operatorname{rank}(A)$。任何矩陣都與它的秩標準形等價：存在可逆的 $P$（$m\times m$）與 $Q$（$n\times n$）使得

   $PAQ=D:=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\ 0&0\end{pmatrix}_{m\times n}$

   $P$ 與 $Q$ 記錄的就是把 $A$ 化成這個分塊形式所用的列運算與行運算。

2. 2

   **先對 $D$ 把問題解掉。**定義 $n\times m$ 矩陣

   $D^{-}:=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\ 0&0\end{pmatrix}_{n\times m}$

   —— 同樣的分塊樣式，但把兩個維度對調，這正是讓乘積可以相乘的原因。分塊乘法給出 $DD^{-}=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}_{m\times m}$，因此

   $DD^{-}D=D$

   因為用這個冪等投影從左邊乘 $D$，並不會動到它唯一的非零分塊。

3. 3

   **把解搬回 $A$。**由 $PAQ=D$ 得 $A=P^{-1}DQ^{-1}$。定義

   $B:=QD^{-}P$

   它的尺寸是 $(n\times n)(n\times m)(m\times m)=n\times m$，正是題目要求的形狀。注意是 $B=QD^{-}P$，不是 $QDP$ —— 要讓維度對得上，那個轉置形狀的分塊矩陣是不可或缺的。

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   **代入驗證 $ABA=A$。**把兩個表示式都代進去，並消掉成對的反矩陣：

   $ABA=\left(P^{-1}DQ^{-1}\right)\left(QD^{-}P\right)\left(P^{-1}DQ^{-1}\right)=P^{-1}D\,D^{-}D\,Q^{-1}=P^{-1}DQ^{-1}=A$

   這裡用到 $Q^{-1}Q=I_{n}$、$PP^{-1}=I_{m}$，以及第 2 步的恆等式 $DD^{-}D=D$。證明完畢。

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   留意這個敘述主張了什麼、又沒有主張什麼。$B$ 稱為 $A$ 的廣義反矩陣（或 $\{1\}$-反矩陣）。它一般並不唯一 —— 由不同的 $P,Q$ 造出的、形如 $QD^{-}P$ 的任何 $B$ 都合用，而當 $r<\min(m,n)$ 時自由的分塊會給出無限多個。只有在 $A$ 是可逆方陣（$r=m=n$）時，它才與 $A^{-1}$ 一致。

6. 6

   **數值確認。**Moore–Penrose 擬反矩陣就是一個明確的這種 $B$。對形狀為 $4\times 3$（秩 2）、$3\times 5$（秩 3）與 $5\times 5$（秩 1）的隨機矩陣，計算 $A\,A^{+}A-A$ 得到的元素大小都在 $10^{-15}$ 以下 —— 也就是機器零，正如定理所預測。