證明方程式 x² + ax + a − 2 = 0 對每一個實數 a 都有兩個相異實根。

Step-by-step solution

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   回想是什麼決定實根的個數。 對 $Ax^2+Bx+C=0$（其中 $A\neq 0$），判別式

   $\Delta=B^{2}-4AC$

   決定一切：$\Delta>0$ 給兩個相異實根，$\Delta=0$ 給一個重根，$\Delta<0$ 則沒有實根。所以整個證明就歸結成證明對每個 $a$ 都有 $\Delta>0$。

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   寫出各項係數。 這裡要小心——字母 $a$ 是參數，不是首項係數：

   $A=1,\qquad B=a,\qquad C=a-2.$

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   把判別式算成 a 的函數。

   $\Delta=a^{2}-4(1)(a-2)=a^{2}-4a+8.$

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   配方以看出正負。 $-4$ 的一半是 $-2$，而 $(-2)^2=4$：

   $\Delta=\left(a^{2}-4a+4\right)+4=(a-2)^{2}+4.$

   展開回去得 $a^2-4a+4+4=a^2-4a+8$，確認改寫無誤。

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   下結論。 實數的平方永遠不是負的，所以 $(a-2)^2\ge 0$，因此

   $\Delta=(a-2)^{2}+4\ge 4>0$

   對每一個實數 $a$ 都成立。判別式嚴格為正——而且離零還有一段距離——所以這個方程式永遠有兩個相異實根。

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   看看最小值出現在哪裡。 判別式可能的最小值 $\Delta=4$ 出現在 $a=2$，此時方程式變成 $x^2+2x+0=0$，兩根是 $x=0$ 與 $x=-2$：確實相異，與結論一致。