分解 a² − 4x² + 12x − 9。

Step-by-step solution

1. 1

   分組之前先數一數變數。 四項之中只有一項含 $a$，其餘三項都是 $x$ 的。這種不對稱正是提示：把三個 $x$ 項湊成一組，看看它們是不是某個熟悉的形狀。

2. 2

   帶著負號分組。 從後三項提出 $-1$，括號裡每個符號都要翻轉：

   $a^2-4x^2+12x-9=a^2-\left(4x^2-12x+9\right)$

   忘了把 $+12x$ 與 $-9$ 的符號翻過來，是這裡最常見的錯誤。

3. 3

   認出完全平方。 對 $4x^2-12x+9$，檢查 $(2x)^2=4x^2$, $3^2=9$, and $2\cdot 2x\cdot 3=12x$，與中間項相符，所以

   $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$

   式子現在是 $a^2-(2x-3)^2$。

4. 4

   套用平方差。 取 $A=a$、$B=2x-3$，公式 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ 給出

   $a^2-(2x-3)^2=\bigl(a-(2x-3)\bigr)\bigl(a+(2x-3)\bigr)$

5. 5

   把內層括號拆掉。 分配符號：

   $(a-2x+3)(a+2x-3)$

   兩個因式在整數上都不能再分，所以分解完全。

6. 6

   展開驗算。 $(a-2x+3)(a+2x-3)=a^2+a(2x-3)-a(2x-3)-(2x-3)^2=a^2-(4x^2-12x+9)=a^2-4x^2+12x-9$。$\checkmark$