設 a(x − 1)/(x − 2) > 2 的解集合為 A，且 3 不屬於 A，求 a 的範圍。

Step-by-step solution

1. 1

   忍住不要去解一般的不等式。 要對每一個 $a$ 都把 $A$ 求出來，就得畫正負號表，還要對 $a$ 的正負以及 $x=2$ 這個極點分情況討論。但題目只問一個點的事，所以直接在那個點上求值就好——這就是整題的捷徑。

2. 2

   確認 $x=3$ 是可以代的。 這個式子只有在 $x=2$ 沒有定義。因為 $3\ne 2$，所以 $x=3$ 落在定義域內，於是「$3\notin A$」真的表示不等式在 $x=3$ 不成立，而不是在那裡沒有定義。

3. 3

   代入 $x=3$。

   $\frac{a(3-1)}{3-2}=\frac{2a}{1}=2a$

   所以「$3$ 屬於 $A$」恰好就是 $2a>2$ 這個敘述。

4. 4

   把這個條件否定掉。 $3\notin A$ 表示嚴格不等式不成立：

   $2a>2\ \text{不成立}\iff 2a\le 2\iff a\le 1$

   嚴格不等式的否定會包含等號，所以 $a=1$ 是可以的：此時左邊恰好是 $2$，並沒有大於 $2$。

5. 5

   在邊界與邊界外側各驗一次。 取 $a=1$：$\tfrac{1(3-1)}{3-2}=2$，而 $2>2$ 不成立，所以 $3\notin A\;\checkmark$。取 $a=1.5$：值是 $3>2$，所以 $3\in A$——正確地被排除。取 $a=0$：值是 $0>2$，不成立，所以 $3\notin A\;\checkmark$。因此範圍是 $a\le 1$。