設 f(x) = a(x − 5)³ + b(x − 5) + 7。若 1 ≤ f(x) ≤ 13 的解為 k − 9 ≤ x ≤ 3k + 7，求 k。

Step-by-step solution

1. 1

   把函數剝到只剩奇函數的核心。 令 $t=x-5$、$g(t)=at^3+bt$。則

   $f(x)=g(x-5)+7$

   而 $g$ 是奇函數，因為 $g(-t)=-at^3-bt=-g(t)$。任何「三次項加一次項」的式子都是這樣——沒有偶次方，所以沒有東西破壞對稱。

2. 2

   把奇函數的性質轉成 $f$ 的點對稱。 對任何 $t$，

   $f(5+t)+f(5-t)=\left[g(t)+7\right]+\left[g(-t)+7\right]=g(t)-g(t)+14=14$

   所以 $f$ 的圖形對點 $(5,7)$ 對稱：在 $x=5$ 右邊 $t$ 單位發生的事，會上下顛倒地鏡射到左邊 $t$ 單位處。

3. 3

   注意上下界對 7 也是對稱的。 這個限制條件是

   $1\le f(x)\le 13\iff |f(x)-7|\le 6$

   因為 $1=7-6$、$13=7+6$。一個對中心值對稱的條件，加在一個對中心點對稱的函數上，解集合必然對 $x=5$ 對稱。

4. 4

   逼使給定的區間以 5 為中心。 $\left[k-9,\;3k+7\right]$ 的中點是

   $\frac{(k-9)+(3k+7)}{2}=\frac{4k-2}{2}=2k-1$

   令它等於 $5$：

   $2k-1=5\;\Longrightarrow\;k=3$

5. 5

   檢查 $k=3$ 給出的確實是個像樣的區間。 取 $k=3$，兩端點是 $k-9=-6$ 與 $3k+7=16$，所以解集合是 $[-6,16]$——一個合法的非空區間，中點是 $\tfrac{-6+16}{2}=5\;\checkmark$，與對稱中心相符。它的半寬 $11$ 接著會透過 $f(16)=13$ 限制 $a$ 與 $b$，但 $k$ 本身單靠對稱性就定住了。