對 f(x) = sqrt(5x + 1)，求差商 (f(x+h) - f(x))/h 並化簡。

Step-by-step solution

1. 1

   先把差商寫出來。 因為 $f(x+h) = \sqrt{5(x+h)+1} = \sqrt{5x+5h+1}$，所以

   $\frac{\sqrt{5x+5h+1} - \sqrt{5x+1}}{h}$

   此時還什麼都約不掉：$h$ 埋在根號裡面，沒辦法直接從分子提出來。

2. 2

   分子分母同乘分子的共軛式。 這是處理兩個平方根之差的標準手法：

   $\frac{\sqrt{5x+5h+1} - \sqrt{5x+1}}{h} \cdot \frac{\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}}{\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}}$

   以這種形式乘上 $1$，值完全沒變，卻把根號挪到了分母。

3. 3

   對分子用 (A − B)(A + B) = A² − B²。 平方根隨之消失：

   $\left(5x+5h+1\right) - \left(5x+1\right) = 5h$

4. 4

   把 h 約掉。

   $\frac{5h}{h\left(\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}\right)} = \frac{5}{\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}}$

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   數值檢驗並取極限。 取 $x = 1.3$、$h = 0.07$：直接算差商得 $0.9024623$，公式給出 $\tfrac{5}{\sqrt{7.85}+\sqrt{7.5}} = 0.9024623$。當 $h \to 0$ 時兩個根號都變成 $\sqrt{5x+1}$，於是得到 $\tfrac{5}{2\sqrt{5x+1}}$ —— 正是 $\sqrt{5x+1}$ 的導數。