解方程式 x²(x⁴ + 104x² + 40x) = 10000，求出所有實數解，準確到小數點後六位。

Step-by-step solution

1. 1

   展開，並把所有項移到同一邊。 把 $x^{2}$ 乘進去：

   $x^{2}\cdot x^{4}+x^{2}\cdot 104x^{2}+x^{2}\cdot 40x=x^{6}+104x^{4}+40x^{3},$

   於是方程式變成

   $f(x)=x^{6}+104x^{4}+40x^{3}-10000=0.$

   注意式子裡沒有 $x^{5}$、$x^{2}$ 與 $x$ 項——這個多項式很稀疏，但並不是變數代換 $u=x^{3}$ 能降次的那種形狀（$x^{6}+bx^{3}+c$），因為中間多了一個 $104x^{4}$。

2. 2

   先排除有理根。 由有理根定理，可能的根只能取 $10000$ 的因數：$\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm8,\pm10,\pm16,\pm20,\pm25,\ldots$ 試算幾個小的，

   $f(2)=64+1664+320-10000=-7952,\qquad f(3)=729+8424+1080-10000=233,$

   $f(-3)=729+8424-1080-10000=-1927,\qquad f(-4)=4096+26624-2560-10000=18160.$

   一個都不為零，也不存在拆成有理係數二次式的分解，所以只能用數值方法求根。

3. 3

   把變號的位置框住——一共有兩處，不是一處。 上面那四個值已經把兩處都暴露出來了：

   $f(-4)>0>f(-3)\quad\text{且}\quad f(2)<0<f(3),$

   所以由介值定理，$(-4,-3)$ 裡有一個根，$(2,3)$ 裡還有一個。以 $0.001$ 為步長在 $[-10,10]$ 上把 $f$ 掃一遍，恰好只找到這兩處變號，所以這個六次方程式有兩個實根（其餘四個是複根）。只找到正根就收手——這是最容易犯的錯——會丟掉一半答案。

4. 4

   對每個區間二分到足夠精度。 反覆取一半，並保留 $f$ 在其上變號的那一半：

   $x_{+}\in(2,3)\to 2.982928,\qquad x_{-}\in(-4,-3)\to-3.152475.$

   各二分約 40 次後都收斂到 $|f|<10^{-11}$。有些地方流傳的 $2.9833$ 略嫌粗糙：$f(2.9833)\approx +5.04$，並不是 $0$。

5. 5

   把兩個根都代回去檢驗。 取 $x=2.982928$：$x^{2}=8.897859$，而 $x^{4}+104x^{2}+40x=79.172+925.377+119.317=1123.87$，兩者之積為 $10000.0$ ✓。取 $x=-3.152475$：$x^{2}=9.938099$，括號裡算得 $1006.23$，乘積同樣是 $10000.0$ ✓。兩個根並不對稱，原因就在那個奇次項 $40x^{3}$。