若 x1 與 x2 是 x² + 3x − 5 = 0 的兩根，求 x1 + x2 − x1·x2 的值。

Step-by-step solution

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   先認出這是一個關於兩根的對稱式。 $x_1 + x_2 - x_1x_2$ 只由兩根之和與兩根之積搭起來，所以根與係數關係能直接給出答案——根本不必解這個二次方程式，硬解還會把無理的根式一路拖進運算裡。

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   寫出根與係數關係。 對 $ax^2 + bx + c = 0$ 有

   $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2 = \frac{c}{a}$

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   代入係數。 這裡 $a = 1$、$b = 3$、$c = -5$：

   $x_1 + x_2 = -\frac{3}{1} = -3, \qquad x_1x_2 = \frac{-5}{1} = -5$

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   合併。

   $x_1 + x_2 - x_1x_2 = -3 - (-5) = -3 + 5 = 2$

   減去一個負的乘積，正是符號最容易出錯的地方——一旦弄錯，答案就成了 $-8$。

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   用實際的根驗算。 判別式是 $9 + 20 = 29$，所以 $x_{1,2} = \tfrac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}$，數值上是 $1.192582$ 與 $-4.192582$。它們的和是 $-3.000000$，積是 $-4.999998$，於是 $-3 + 5 = 2$，與預期一致。