把 f² − 16g² + 24gh − 9h² 完全分解。

Step-by-step solution

1. 1

   在後三項裡找藏起來的完全平方。 把它們單獨拉出來並提出 $-1$：

   $-16g^2+24gh-9h^2=-\left(16g^2-24gh+9h^2\right)$

   括號裡 $16g^2=(4g)^2$、$9h^2=(3h)^2$，中間項也符合 $2(4g)(3h)=24gh$——所以它是完全平方 $(4g-3h)^2$。

2. 2

   把整個式子改寫成兩個平方的差。

   $f^2-16g^2+24gh-9h^2=f^2-(4g-3h)^2$

   之所以要 $3+1$ 分組而不是 $2+2$，正是因為這三項湊成一個平方，而 $f^2$ 自己就是另一個平方。

3. 3

   套用 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，其中 $a=f$、$b=4g-3h$：

   $f^2-(4g-3h)^2=\bigl[f-(4g-3h)\bigr]\bigl[f+(4g-3h)\bigr]$

4. 4

   拆掉內層括號，注意符號。

   $f-(4g-3h)=f-4g+3h,\qquad f+(4g-3h)=f+4g-3h$

   注意第一個括號裡兩個符號都要翻——典型的失誤是寫成 $f-4g-3h$。

5. 5

   展開回去並代數字驗算。 $(f-4g+3h)(f+4g-3h)=f^2-(4g-3h)^2=f^2-16g^2+24gh-9h^2$ ✓。取 $f=5$、$g=1$、$h=1$：原式是 $25-16+24-9=24$，而 $(5-4+3)(5+4-3)=4\cdot 6=24$ ✓。兩個括號都不能再分，所以分解完全。